W tej lekcji zajmiemy się prostymi w przestrzeni. Chcemy uogólnić naszą wiedzę ze współrzędnych na płaszczyźnie. Pierwsze podejście, które stosowaliśmy w płaszczyźnie, opiera się na pojęciu nachylenia. W przestrzeni jednak nie da się opisać nachylenia za pomocą jednej liczby, ponieważ przy zmianie współrzędnej x zmienia się nie tylko y, ale także z – i to niekoniecznie w takim samym stopniu. Ponadto wzrasta liczba przypadków szczególnych wymagających osobnego traktowania. Dlatego nie będziemy uogólniać tego podejścia.

W drugim podejściu prostą określaliśmy za pomocą jednego punktu i wektora kierunkowego. To podejście łatwo uogólnić na przypadek przestrzenny. Jedyną różnicą jest to, że teraz mamy trzy współrzędne zamiast dwóch, więc prostą określamy przez punkt P₀(x₀;y₀;z₀) który do niej należy, oraz wektor kierunkowy v(v₁;v₂;v₃) ≠ 0 Rozumowanie pozostaje jednak takie samo: punkt P(x;y;z) należy do prostej e dokładnie wtedy, gdy wektor P₀P jest równoległy do v, czyli dla pewnej liczby rzeczywistej .

W postaci współrzędnych:

To jest tzw. układ równań parametrycznych prostej e. Układ ten – podobnie jak wcześniej – zależy od wyboru punktu P₀ i wektora v.

 Przykład 1 

Wyznaczmy układ równań parametrycznych prostej e, która przechodzi przez punkt P₀(5;-4;2)  i ma wektor kierunkowy v(3;2;-3). Podstawiamy dane:

 Przykład 2 

Rozważmy teraz prostą e, która przechodzi przez punkt P₀(-4;5;-1) i ma wektor kierunkowy v(0;0;1). Po podstawieniu danych otrzymujemy następujący układ równań. Ponieważ v=k, prosta jest równoległa do osi z, więc x i y pozostają stałe. Trzecie równanie oznacza jedynie, że z może przyjmować dowolne wartości rzeczywiste.

W ogólnym przypadku możemy ponownie wyrazić parametr z każdego z równań:

Oczywiście taka postać jest możliwa tylko wtedy, gdy żadna ze współrzędnych x, y, z nie jest równa zeru (czyli prosta nie jest równoległa do żadnej z płaszczyzn współrzędnych). Ponieważ wartość parametru nie jest dla nas istotna, z tego zapisu otrzymujemy postać bezparametrową równania prostej:

Jeśli dwie współrzędne wektora kierunkowego są zerowe, np. v₁=v₂=0, to prosta jest równoległa do jednej z osi współrzędnych – w tym przypadku do osi z. Wtedy dwie współrzędne punktów na prostej pozostają stałe (tu: x i y), a trzecia – z – przyjmuje dowolne wartości rzeczywiste. Równanie takiej prostej może przyjąć jedną z trzech postaci (w naszym przykładzie pierwszą):