Po krótkim przypomnieniu sposobu przedstawiania wektorów na płaszczyźnie zapoznajmy się z pojęciem przestrzennego układu współrzędnych oraz z możliwościami rozkładu wektorów w przestrzeni.

Na płaszczyźnie położenie punktów określamy za pomocą prostokątnego układu współrzędnych kartezjańskich, opartego na dwóch wzajemnie prostopadłych wektorach bazowych. Każdy wektor płaski można przedstawić jako kombinację liniową i i j. To przedstawienie jest jednoznaczne. Wektor a jednoznacznie określa uporządkowaną parę liczb (α₁;α₂). Odwrotnie, uporządkowana para (α₁;α₂) jednoznacznie określa wektor a.

W przypadku wektorów przestrzennych dwa wektory bazowe nie wystarczają – potrzebny jest trzeci. Ten trzeci wektor bazowy oznaczamy jako k. Jest to wektor jednostkowy prostopadły zarówno do i, jak i do j. W przestrzeni istnieją dwa wektory spełniające warunek prostopadłości. Za wektor k przyjmujemy ten, dla którego – patrząc od końca – wektor i trzeba obrócić przeciwnie do ruchu wskazówek zegara wokół j, aby otrzymać k. Prosta przechodząca przez początek układu i mająca ten sam kierunek co k nazywana jest osią z. Wektory i, j i k (w tej kolejności) tworzą prawoskrętny układ współrzędnych.

W przestrzeni potrzebujemy zatem prostopadłościanu, którego jednym z wierzchołków jest punkt O, krawędzie są równoległe do osi współrzędnych, a przekątna wychodząca z O to właśnie wektor a. Wektor a można zapisać w postaci:

a = α₁i + α₂j + α₃k

Różnym kombinacjom liniowym odpowiadają różne prostopadłościany, a więc i różne przekątne. Każdy wektor przestrzenny a jednoznacznie określa uporządkowaną trójkę liczb (α₁;α₂;α₃), a każda taka trójka jednoznacznie określa wektor a.