In dieser Lektion beschäftigen wir uns mit Geraden im Raum. Wir möchten unsere Kenntnisse aus der Ebene verallgemeinern. Der erste Ansatz, den wir in der Ebene verwendet haben, beruhte auf dem Begriff der Steigung. Im Raum lässt sich die Steigung jedoch nicht durch eine einzige Zahl beschreiben, da sich bei Änderung der x-Koordinate nicht nur die y-, sondern auch die z-Koordinate verändert – und das nicht unbedingt im gleichen Maß. Außerdem erhöht sich die Anzahl der gesondert zu behandelnden Spezialfälle. Daher werden wir diesen Ansatz nicht weiterverfolgen.

Im zweiten Ansatz beschrieben wir die Gerade durch einen Punkt auf ihr sowie durch einen Richtungsvektor. Diese Methode lässt sich leicht auf den dreidimensionalen Raum übertragen. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir nun drei Koordinaten statt zwei haben. Somit wird die Gerade e durch einen auf ihr liegenden Punkt P₀(x₀;y₀;z₀) und einen Richtungsvektor v(v₁;v₂;v₃) ≠ 0 definiert. Die Überlegung bleibt dabei gleich: Ein Punkt P(x;y;z) liegt genau dann auf der Geraden e, wenn der Vektor P₀P parallel ist, für eine reelle Zahl t.

In Koordinatenform ergibt sich:

Dies ist das sogenannte parametrische Gleichungssystem der Geraden . Es hängt – wie zuvor – von der Wahl des Punktes P₀ und des Richtungsvektors v ab.

 Beispiel 1 

Bestimmen wir das parametrisierte Gleichungssystem der Geraden e, die durch den Punkt P₀(5;-4;2) verläuft und den Richtungsvektor v(3;2;-3) hat. Wir setzen einfach ein:

 Beispiel 2 

Betrachten wir nun die Gerade e, die durch den Punkt P₀(-4;5;-1) verläuft und den Richtungsvektor v(0;0;1) besitzt. Setzen wir die gegebenen Werte ein, so erhalten wir das folgende Gleichungssystem. Da nun v = k gilt, ist die Gerade parallel zur z-Achse, daher bleiben x und y konstant. Die dritte Gleichung bedeutet lediglich, dass z alle reellen Werte annehmen kann.

Im allgemeinen Fall lässt sich der Parameter auch wieder aus den einzelnen Gleichungen ausdrücken.

Diese Umformung ist natürlich nur möglich, wenn keine der Komponenten des Richtungsvektors v = null ist – das heißt, die Gerade ist zu keiner der Koordinatenebenen parallel. Da der Wert des Parameters für uns unerheblich ist, erhalten wir daraus eine parameterfreie Gleichung der Geraden.

Wenn zwei der Richtungskoordinaten null sind, z. B. v₁ = v₂ = 0, , dann ist die Gerade parallel zu einer der Koordinatenachsen – in diesem Fall zur z-Achse. Dann bleiben zwei Koordinaten (hier x und y) konstant, während die dritte alle reellen Werte annehmen kann. Die Gleichungssysteme solcher Geraden können daher eine der folgenden drei Formen haben (im Beispiel trifft die erste zu).