Nach einer kurzen Wiederholung der Darstellung von Vektoren in der Ebene lernen wir das Konzept des dreidimensionalen Koordinatensystems kennen sowie die Möglichkeiten, Vektoren im Raum zu zerlegen.

In der Ebene wird die Lage von Punkten durch das rechtwinklige kartesische Koordinatensystem angegeben, das auf zwei zueinander senkrechten Basisvektoren basiert. Jeder ebene Vektor kann als Linearkombination dieser beiden Basisvektoren dargestellt werden. Diese Darstellung ist eindeutig. Ein Vektor a bestimmt eindeutig das Zahlenpaar (α₁;α₂) . Umgekehrt bestimmt das geordnete Paar (α₁;α₂) eindeutig den Vektor a.

Im Raum reichen zwei Basisvektoren nicht aus; wir benötigen einen dritten. Dieser dritte Basisvektor wird mit k bezeichnet. Dieser Einheitsvektor steht senkrecht auf sowohl i als auch j. Im Raum existieren zwei Vektoren, die diese Orthogonalitätsbedingung erfüllen. Der Vektor k ist derjenige, bei dem man – vom Endpunkt aus betrachtet – den Vektor i gegen den Uhrzeigersinn um j drehen muss, um k zu erhalten. Die Gerade durch den Ursprung mit derselben Richtung wie k wird als z-Achse bezeichnet. Die Vektoren i, j und k (in dieser Reihenfolge) bilden ein rechtshändiges Koordinatensystem.

Im Raum benötigen wir also ein Quader (Rechteckkörper), dessen ein Eckpunkt der Ursprung O ist, dessen Kanten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen und dessen Raumdiagonale von O ausgeht und genau dem Vektor a entspricht. Dieser Vektor a kann in folgender Form geschrieben werden:

a = α₁i + α₂j + α₃k

Verschiedene Linearkombinationen ergeben unterschiedliche Quader und damit unterschiedliche Diagonalvektoren. Daher bestimmt jeder Raumvektor a eindeutig ein geordnetes Zahlen-Tripel (α₁;α₂;α₃), und umgekehrt bestimmt jedes Tripel (α₁;α₂;α₃) eindeutig einen Raumvektor a.